解二元一次方程组的“终极三板斧”
解二元一次方程组的终极三板斧
我的一个学生栩栩如生地跟我总结了他学习方程的心得:一元一次方程:全会!二元一次方程:很累!二元一次方程组:崩溃!我笑笑:小鬼,总结的很好,说明你真是没有好好学呀。
其实,二元一次方程组并不难,咱们扪心自问,他有小学咱们学的数轮、组合这种一读题就犯恶心,边做题边吐的变态题目难吗?没有,但是咱们的学员为什么会有此感觉呢?我觉得其中主要的一点就是咱们上当了,变得骄傲轻敌,古语有云,骄兵必败,咱们在刚开始接触一元一次方程的时候,觉得太小儿科了,学这些东西简直就是丢咱们初中生的身份。长此以往,咱们就没有太注意联系难题,因为一元一次方程确实不太好出难题,最多解方程时给你弄一坨一坨的分数小数。但是到了二元一次方程,咱们就慢慢的有点崩溃了,这就是温水煮青蛙的道理,咱们,被煮了。
在解答与二元一次方程组有关的题目的过程中,许多同学往往只按照老师教的方法算出得数,殊不知,很多题目可以从其它的角度考虑,从其它的方法去解,可以让你的思路大开,提高你驭驾知识的能力。
所以,不用担心,前事不忘后事之师,只要咱们善于总结和反思,就一定能搞定二元一次方程组,下面数几个比较重要的思想。
一、代入法与加减法是解方程组两大必杀技!
代入法与加减法是解二元方程的一种基本方法,灵活地运用这两种方式,可以提高解方程的速度,也可简化我们的计算过程:
本题根据未知数的关系,灵活运用加减法,将解方程的过程简化。
在解方程组中,我们应当仔细观察各式之间的关系,灵活运用代入法与及加减法,可使计算过程简便有效。
二、换元法,解方程组的终极杀手锏!
在初中代数中,其实质是用字母代替数字,其本质是利用整体思想,把一个字母看成是一个式子,或者一个式子当成是一个字母。在解方程中也会经常利用到整体思想。
在学二元一次方程组,要求我们能够认真思考,仔细观察,灵活地运用一些方法,思想。那么,解决一些问题就能起到事倍功半的效果。
三、解决应用题的关键:审题、设元、列方程、解方程、答。
在利用方程解决实际问题时,最关键之处在于找出等量关系,其中,实际中的等量关系又往往是多个的,在解决此类问题中,我们可以利用不同的等量关系得出不同的解决方法。以七年级下册第10页,练习第一题为例,结合列表找等量关系。
题目:学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?
分析:本题关于路程、时间、速度之间的关系,可以用它们三者之间的关系来列方程,不管是路程、时间还是速度,又可分成前部分与后部分,还有总路程,与总时间。所以,可以用总路程与各路程之关的关系,又可以用总时间与各时间之间的关系,还可以用对应的路程、时间、速度之间的关系。其中几个等量关系可以如下:
(1)前段路程+后段路程=总路程
(2)前段时间+后段时间=总时间
(3)前段路程=前段速度前段时间
(4)后段路程=后段速度后段时间
如果设冲刺阶段花了x秒,1分零5秒=65秒
解法一:前段路程+后段路程=总路程,列表如下:
时间(秒)速度(米/秒)路程(米)
前段65-x66(65-x)
冲刺x88x
总65400
先填写题目中已知的,即表格中黑体的部分,接着把其它末知量通过其它的相等关系表示出来,要知前段路程,得先表示出前段时间,前段时间利用前段时间+后段时间=总时间,可表示出前段时间为:(65-x)秒。前段路程利用前段路程=前段速度前段时间,则前段路程为:6(65-x)米。后段路程利用后段的时间、路程、速度之间的关系,可得后段路程为:8x米。根据表格及相等关系,就可列出如下方程:
6(65-x)+8x=400
这里如果把等量关系写成前段路程=总路程-后段路程,则对应的方程又可以写成:
6(65-x)=400-8x
当然,还可以再变化成其它形式的方程。
解法二:前段时间+后段时间=总时间,列表如下:
时间(秒)速度(米/秒)路程(米)
前段
6400-8x
冲刺x88x
总65400
要求与表一相同,可列出方程:(也可以改变这个相等关系列出其它和差关系的方程)
+x=65
解法三:前段路程=前段速度前段时间,列表如下:
时间(秒)速度(米/秒)路程(米)
前段65-x6400-8x
冲刺x88x
总65400
先在表格中填上黑体部分,要利用这个相等关系,就要找出如何用x表示前段时间和后段路程,前段时间=总时间-后段时间,即(65-x)秒。而前段路程=总路程-后段路程,后段路程=后段时间后段速度,可得出后段路程为8x米,前段路程为(400-8x)米
可列出方程:
6(65-x)=400-8x
解法四:后段路程=后段速度后段时间,列表如下:
时间(秒)速度(米/秒)路程(米)
前段65-x66(65-x)
冲刺x8400-6(65-x)
总65400
利用相同的方法,先用一些相等关系表示出末知量,然后用后段路程=后段速度后段时间这个相等关系列出如下方程:
400-6(65-x)=8x
虽然,各种解法相差不多,但我认为,如果在把这种方式都运用到每一道题目,将能够提高我们对实际问题的分析能力,解决能力。
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