2015年中考数学二次函数知识点:选择题及解析八
一、选择题
8.(2014o孝感,第12题3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点:二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点
专题:数形结合.
分析:由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(﹣1,2)得a﹣b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a,所以c﹣a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.
解答:解:∵抛物线与x轴有两个交点,
b2﹣4ac>0,所以①错误;
∵顶点为D(﹣1,2),
抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,
抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,
当x=1时,y<0,
a+b+c<0,所以②正确;
∵抛物线的顶点为D(﹣1,2),
a﹣b+c=2,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
b=2a,
a﹣2a+c=2,即c﹣a=2,所以③正确;
∵当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=1时,ax2+bx+c=2,
方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
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