2012全国初中联赛初三数学竞赛初赛答案
2012年全国初中联赛四川初三数学竞赛初赛
参考解答与评分标准
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.A2.B3.D4.D5.C6.B
二、填空题(每小题7分,共28分)
1.22.23.4.24
三、(本大题满分20分)
如图,一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点,在线段上有一点,过点分别做两坐标轴的垂线,垂足分别为、.
(I)若矩形的面积为,求点坐标;
(II)若点在线段上移动,求矩形面积的最大值.
解:(1)设点坐标为,根据题意得
,(5分)解得或,
所以点坐标为或(10分)
(2)设点坐标为,则
(15分)
所以当时,矩形面积取得最大值为.(20分)
四、(本大题满分25分)
如图,在△中,为边上一点,且,过作的垂线交△的外接圆于,过作的垂线,交圆于,求证:为△外接圆的直径.
解:延长至,使,(5分)
则由已知得,
又,所以,(10分)
所以,
又由得,
所以,(15分)
所以,
所以,(20分)
所以为优弧的中点,
又因为,所以为△外接圆的直径.(25分)
五、(本大题满分25分)
已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数.试求的取值范围.
解:由得①
得②,
又③,
将①②代入③得,化简得(5分)
此方程的两个根为和.
因都是正实数,所以.(10分)
将代入①②得,因此是下面辅助方程的两个根
④.(15分)
因为是实数,所以
.(20分)
因为都是正数,所以,即
因此可得的取值范围是.(25分)
考试试题将第一时间发送,近期期待。
所以,
所以,(20分)
所以为优弧的中点,
又因为,所以为△外接圆的直径.(25分)
五、(本大题满分25分)
已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数.试求的取值范围.
解:由得①
得②,
又③,
将①②代入③得,化简得(5分)
此方程的两个根为和.
因都是正实数,所以.(10分)
将代入①②得,因此是下面辅助方程的两个根
④.(15分)
因为是实数,所以
.(20分)
因为都是正数,所以,即
因此可得的取值范围是.(25分)
考试试题将第一时间发送,近期期待。
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