2018中考数学：一元二次方程综合题例析（1）

一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。

一、一元二次方程与一次函数综合

例 已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．

解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．

∵ 原方程有两个实数根，

△= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 40，得 m．

（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，

y = x1 + x2 =－2m + 2，且m．

因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1．

二、一元二次方程与反比例函数综合

例2已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．

解: 设方程的两个根为，，

根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，

三、一元二次方程与二次函数综合

例3已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+22p＞0）经过A、C两点．

（1）用m、p分别表示OA、OC的长；

（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．

解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，

整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，

x1=p，x2=m+2-p，

∵m+2＞2＞0

m+2-p＞p＞0，

OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S△AOB = OA?OB，

S△AOB= OA?OB= P?（m+2-p），

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