2018中考数学:一元二次方程综合题例析(1)
一元二次方程综合题是中考热点,常常结合其他方面知识进行考查,下面通过几个例子进行分类解析。
一、一元二次方程与一次函数综合
例 已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)设y = x1 + x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
分析:(1)若一元二次方程有两不等根,则根的判别式△=b2-4ac0,建立关于m的不等式,可求出m的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式,进而可得出y、m的函数关系式,根据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围,即可求出y的最小值及对应的m值.
解:(1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.
∵ 原方程有两个实数根,
△= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 40,得 m.
(2) ∵ x1,x2为x2 + 2(m-1)x + m2 = 0的两根,
y = x1 + x2 =-2m + 2,且m.
因而y随m的增大而减小,故当m =时,取得最小值1.
二、一元二次方程与反比例函数综合
例2已知关于x的方程.若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足条件的m的最小值.
分析:写出两根之积,两根之积等于m,进而求出m的最小值.
解: 设方程的两个根为,,
根据题意得.又由一元二次方程根与系数的关系得,
三、一元二次方程与二次函数综合
例3已知:如图,Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上,C为OA上一点且OC=OB,抛物线y=(x-2)(x-m)-(p-2)(p-m)(m、p为常数且m+22p>0)经过A、C两点.
(1)用m、p分别表示OA、OC的长;
(2)当m、p满足什么关系时,△AOB的面积最大.
分析:(1)因为A、C点都在x轴上,所以令y=0即可求出p的值.(2)根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式,再根据二次函数最值得表达式求解即可.
解:(1)令y=0得:(x-2)(x-m)-(p-2)(p-m)=0,
整理得:(x-p)(x-m-2+p)=0,
x1=p,x2=m+2-p,
∵m+2>2>0
m+2-p>p>0,
OA=m+2-p,OC=P.
(2)∵OC=OB,S△AOB = OA?OB,
S△AOB= OA?OB= P?(m+2-p),
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