二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴题

题目

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2-2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

解法1

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－30)．

方法二 如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－30)．

（下略．）

解法2

铅垂高，水平宽面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

根据上述方法，本题解答如下：

解：如图6，作PEx轴于点E，交BC于点F．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－30）．

点P坐标为（－3/2，15/4）

解法3

切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解 如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．

=27/8

解法4

三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得．

解：如图8，作PEx轴交于点E，交BC于点F，作PMBC于点M．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－30），

则F(x，x＋3)．

从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。

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