二次函数解析式综合题求法例举

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。本文试以历年中考题为例，说明求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助。

二次函数常见的表达形式有：

（1）一般式：；

（2）顶点式：，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；

（3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点。

例1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

图1

分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。

解：设所求抛物线的解析式为（）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。

解之，得

抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为。

点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求图象所表示的函数解析式，那就必须加上自变量的取值范围。

例2. 如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。

图2

分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式。

解：设AB与x轴交于点C，可知。

过点B作轴于点D

设所求水渠横截面抛物线的解析式为。

将点B的坐标代入，有。解之，得。

因此，该水渠横截面抛物线的解析式为。

点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。

例3. 一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解：抛物线经过点（）和，

这条抛物线的对称轴是直线。

设所求抛物线的解析式为。

将点代入，得，解得。

这条抛物线的解析式为，即。

点评：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。

例4. 如图3，在直角坐标系中，以点A为圆心，以为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。

图3

分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式求出其解析式。

解：由，易得

在，

。所以点D的坐标为（0，-3）。

设解析式为，由条件知，

抛物线的解析式为

即

当时，，所以点D（0，-3）在抛物线上。

点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。

最后，留两道题给同学们练习。

1. 二次函数的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数的关系式。 （答案：）

2. 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为，线段CM的长为。求这条抛物线的解析式。（答案：）

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。本文试以历年中考题为例，说明求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助。

二次函数常见的表达形式有：

（1）一般式：；

（2）顶点式：，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；

（3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点。

例1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

图1

分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。

解：设所求抛物线的解析式为（）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。

解之，得

抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为。

点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求图象所表示的函数解析式，那就必须加上自变量的取值范围。

例2. 如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。

图2

分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式。

解：设AB与x轴交于点C，可知。

过点B作轴于点D

设所求水渠横截面抛物线的解析式为。

将点B的坐标代入，有。解之，得。

因此，该水渠横截面抛物线的解析式为。

点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。

例3. 一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解：抛物线经过点（）和，

这条抛物线的对称轴是直线。

设所求抛物线的解析式为。

将点代入，得，解得。

这条抛物线的解析式为，即。

点评：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。

例4. 如图3，在直角坐标系中，以点A为圆心，以为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。

图3

分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式求出其解析式。

解：由，易得

在，

。所以点D的坐标为（0，-3）。

设解析式为，由条件知，

抛物线的解析式为

即

当时，，所以点D（0，-3）在抛物线上。

点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。

最后，留两道题给同学们练习。

1. 二次函数的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数的关系式。 （答案：）

2. 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为，线段CM的长为。求这条抛物线的解析式。（答案：）

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